这是一道简单的几何题，求纯几何方法

iii

两道类似的几何题。复解析方法证明如下。求：纯几何方法如何证明？
第一题：

aduxoeroba

第二题类似。

urinowiq

我记得郭先强不允许别人发源代码截图的！

[公告] 禁止发源代码截图
https://bbs.emath.ac.cn/forum.ph ... 9&fromuid=14149

Sherryufas

作平行四边形ACBI，则得等腰梯形ADBI，EF是它的对称轴。
所以△BEI 和△BFI都是正三角形。
∠EDB=∠EAI=优弧EI/2=5π/6
∠FDB=∠FAI=劣弧IF/2=π/6
∠EDF=∠EAF=∠EIF=2π/3

igikzari

上楼的图是为了应用复数解法特意设置的，让B置于复平面原点，A在单位圆上，即`A\bar A=1`。平行四边形的顶点`I=1`.
则 `C=A-I=A-1，D=-\bar C=1-\bar A `
且`F=\bar E, E·F=E\bar E=F\bar F=1,E+\bar E=B+I=1→E,F` 满足方程 `z^2-z+1=0`
所以按图中位置有`\arg(E)=\pi/3,\arg(F)=5\pi/3`.
为了计算`∠EDB`, 我们考察复斜率`\frac{DE/DB}{\overline{DE/DB}}=\frac{(D-E)/D}{(\bar D-\bar E)/\bar D}=\frac{D\bar D-E\bar D}{D\bar D-D\bar E}`
`D=1-\bar A,A\bar A=1→D\bar D=D+\bar D`，代入上述复斜率表达式得
`\frac{DE/DB}{\overline{DE/DB}}=\frac{D+\bar D-E\bar D}{D+\bar D-D\bar E}=\frac{D+\bar D(1-E)}{\bar D+D(1-\bar E)}=\frac{D+\bar D\bar E}{\bar D+DE}=\bar E=F`
所以可得`∠EDB=\frac12\arg\left(\frac{DE/DB}{\overline{DE/DB}}\right)=\frac12\arg(F)=5\pi/6`
类似可得`∠FDB=\frac12\arg\left(\frac{DF/DB}{\overline{DF/DB}}\right)=\frac12\arg(E)=\pi/6`