最小有理多项式

iii

给定一个正整数$n$, 请计算出 $sin(pi/n)$ 的最小有理多项式,即其中一个根为$sin(pi/n)$ ,最高次数最小的多项式 (非数学软件)

eheotolee

设

\(\frac{\pi}{n}=x,\sin(x)=y\)..........(1)

则有

\(\sin(nx)=\sin(\pi)=0\)...................(2)

由于

\(\sin(nx)=\frac{(\cos(x)+I\sin(x))^n-(\cos(x)-I\sin(x))^n}{2I}\).............(3)

代入(1）(2)并展开有：

\(0=\sum^{[\frac{n-1}{2}]}_{k=0}\mathrm{C}^{2k+1}_n\sin(x)^{2k+1}\cos(x)^{n-2k-1}\).............(4)

\(\sum^{[\frac{n-1}{2}]}_{k=0}\mathrm{C}^{2k+1}_n y^{2k+1} (1-y^2)^{\frac{n-2k-1}{2}}=0\)........(5)

若设

\(z=2\sqrt{1-y^2}=2\cos(x)=2\cos(\frac{\pi}{n})\)..............................(6)

则有：

\(\sin(nx)=y(z^{n-1}-\mathrm{C}^{n-2}_1 z^{n-3}+\mathrm{C}^{n-3}_2 z^{n-5}-\mathrm{C}^{n-5}_3 z^{n-7}+...)\)...........(7)

显然有：

\(z^{n-1}-\mathrm{C}^{n-2}_1 z^{n-3}+\mathrm{C}^{n-3}_2 z^{n-5}-\mathrm{C}^{n-5}_3 z^{n-7}+....=0\)..........(8)

eqajoefiwae

查看第二类切皮雪夫多项式即可。当然n非素数还需要去除一些因式